STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Tatjana von Rosen VT 2008

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1

2008-02-22

Skrivtid 9.00 - 14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare Tentamen består av fem uppgifter. Varje uppgift ger maximalt 20 poäng. För full poäng på en upgift krävs tydliga, utfö motiverade lösningar.

1. En tentamen består av flervalsfrågor (multiple choice questions) och varje fråga har fem svaralternativ. Linda tycker att hon vet rätt svarpå godtycklig fråga med sannolokheten 0,75. sannolikheten

2. Företaget Mutter och skruvtillverkar och säljer två muttrar och skruvar. Företagets vinst vid försäljning av ett parti muttrar är 3000 kr och vid försäljning av ett parti skruvar är vinsten 5000 kr. Företagets VD, Stig Gänglund, har satt upp följande sannolikheter för försäljningen under en vecka:

Antal sålda partier muttrar

0  1  2  3 4 eller fler
Antal  0  0,05 0,1 0,05 0,0 0,0
sålda  1  0,05 0,15 0,04 0,01 0,0
partier  2  0,0 0,1 0,2 0,05 0,0
skruvar  3  0,0 0,05 0,05 0,1 0,0
4 eller fler 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

(a) Beräkna sannolikheten att den sammanlagda försäljningen av muttrar och skruvar en vecka blir 3 partier.

(b) Avgör om försäljningen av skruvar och muttrar är oberoende av varandra. Motivera ditt svar.

(c) Beräkna sannolikheten att vinsten av försäljningen av muttrar blir större än försäljningen av skruvar

(d) Beräna sammanlagd förväntad vinst i kr en vecka.

3. Vid tillverkning av muttrar och skruvar har företaget Mutter och skruv", MOS, tio tillverkningslinjer. Sannolikheten att en tillverkningslinje fungerar vid en viss tidpunkt är 0,9 och tillverkningslinjerna antas fungera oberoende av varandra. Bestäm sannolikheten att

(a) alla tillverkningslinjer fungerar vi ett visst tillfälle.

(b) högst två tillverkningslinjer är ur funktion.

4. Stig Gänglund är förutom VD för företaget Mutter och skruv"även en hängiven spelare på hästar. Han befinner sig på en travbana och överväger att spela på en av tre hä och Cassiopeja. Efter att ha studerat hä Aldebaran vinner till 0,2, att Blossom Star vinner till 0,4 och att Cassiopeja vinner till 0,1. Om Aldebaran vinner ger det en vinst på 2,5 gånger insatsen, om Blossom Star vinner ger det 1,2 gånger insatsen och om Cassiopeja vinner ger det 4 gånger insatsen.

(a) Beräkna förväntad vinst för var och en av de tre hä om Stig satsar 100 kr.

(b) Bör Stig satsa på någon av hästarna och i så fall vilken? Motivera ditt svar.

5. Aktier i företaget Mutter och skruv", MOS, handlas i stor omfattning på börsen. Förändringen av värdet i kronor frnästa antas vara en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 0,6 och variansen 9.

(a) Vad är sannolikheten att aktiens värde ökar från en dag till nästa?

(b) En börsvecka består av fem dagar med handel. Vad är snnolikheten att aktien minskar i värde minst en av dagarna i en bö

(c) Vad är förväntat antal dagar som aktien ökar sitt vunder en börsvecka?

Formler

Additionssatsen

P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Multiplikationssatsen

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A)

Räkneregler för väntevärden och varianser: (c är en konstant och X och Y är stokastska variabler) E (c) = c

E (cX) = cE (X)
E (c + X) = c + E (X)
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
V (c) = 0
V (cX) = c^{2}V (X)
V (c + X) = V (X)
V (X + Y) = V (X) + V (Y) om X och Y är oberoende

Väntevärdet för en stokastisk variabel X ∼ bin (n, p) är E (X) = np och variansen är V (X) = npq, där q = 1 − p.